窗函数
窗函数
如果一个连续正弦信号
，每隔一个周期
进行采样，从0开始共采样M次，他的傅里叶变换表示为
其强度分布如下图所示
其中存在许多零点，主要是由分子所影响，令分子等于零，得到
因为
是一个标准的正弦函数，因此正确的频谱应该是在频率
这个点存在强度外，其他点都是为零，所以傅里叶的频谱应该采样的位置都是位于零点，所以令上述表达式恰好等于离散傅里叶采样点的位置得到
其中
，并且
也是一个整数
将上述频率代入时域表达式中得到
因为
都是整数，所以恰好是和初始的相位点是重合的。因此认为如果离散信号在采样的区间内，恰好出现整数个周期，那么频谱上，除了对应点由振幅外，其他点都是为零
以一个正弦信号为例，修改t的取值，从0开始，到接近一个周期。然后不断修改t的长度
当恰好是一个周期的时候，只有在一个点上由值，其他频率都为零。当周期长度改变的时候，频率能量泄漏到了周围。
为了解决频率泄露的问题，可以在信号函数上添加一个窗函数。平时采集一段函数，已经是默认加上一个矩形窗口的函数，但是矩形窗口的频率泄露非常严重。因此出现了汉宁窗口、布莱克曼窗口、高斯窗口、凯泽窗口等等。
同样是以上述函数作为例子，但是纵轴以对数作为坐标，选择合适的采样长度的情况下
但是当采样长度变换后，频谱就出现了严重的泄露
此时加上一个Hann窗口，表达式为
，其中N=130，可以看到泄露的频谱是一定成都的减弱，低频稍稍减弱，高频脚上的成都比较多。
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