由连续傅里叶变换到离散傅里叶变换的过程
连续和离散傅里叶变换
连续傅里叶变换
对于一个连续信号
，每隔一段周期
进行采样，采样时间从0开始，总共采样M次，那么可以描述为
对其做傅里叶变换得到
现在假设有这样一个信号
那么他的傅里叶变换如下
如果采样点是100个，可以得到他的振幅结果如下图
如果增加采样点到300个
这里可以看到两个两个现象。第1是本来应该只存在两个峰值，但是实际看到的是峰值周边还存在一些其他信号。第2是在离散傅里叶变换的情况下，如果对信号进行补零也能看到峰值信号旁的这些多余的峰值。
现在将上述特例改成一个更加普遍的例子，令
以测量点数作为变量，观察不同测量点数情况下的傅里叶变换情况
进一步简化上述公式后，可以看到这个和多缝衍射公式其实是相同的。
离散傅里叶
离散傅里叶变换公式如下，
对照连续傅里叶变换公式
可以看出，离散傅里叶就是对连续傅里叶变换进行抽样
举例
为了证明离散傅里叶是对连续傅里叶变换的抽样，下面举一个例子。假设一个正弦信号，频率为1Hz，采样频率100Hz，总时长为1s
如果信号是离散翻页里的，那么离散傅里变换，在复数空间可以表示为
如果是一个连续信号，可以得到信号连续傅里叶频谱，然后在去对傅里叶频谱取离散的值，可以得到和离散傅里叶变换相同的结果
连续信号下的傅里变化
离散傅里叶采样间隔为100Hz，因为
；总长度为101，所以M=100；z高采样频率为
，频率采样间隔为
，初始频率为0。依据这些数据对连续傅里叶变换进行采样
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